La malédiction de la multidimensionnalité

Pour les mathématiciens, la dimensionnalité d’un système n’est autre que le nombre de coordonnées nécessaires pour décrire un système. Le fait que nous vivions dans un univers tridimensionnel implique que nous n’avons besoin que de trois nombres pour décrire la position de n’importe quel point sur terre, à savoir sa latitude, sa longitude et son altitude. Les choses se compliquent si l’on travaille par exemple avec un ensemble de 100 particules dont nous souhaiterions connaître la position et la vitesse. Décrire un tel système nécessite de connaître 100x3x2 = 600 nombres. Ceci est encore peu en comparaison de la dimensionnalité des combinaisons possibles des couleurs de pixels sur votre écran d’ordinateur qui se comptent par millions ou bien de celle des combinaisons possibles d’ADN (quelques centaines de millions).

En cette ère du « Big data », les scientifiques sont de plus en plus confrontés à l’analyse de données à haute dimensionnalité. Si, en trois dimensions, nous savons visualiser sous la forme d’une sphère l’ensemble des points positionnés à la même distance d’un point donné, il serait beaucoup plus difficile de visualiser, par exemple, l’ensemble de toutes les combinaisons possibles des pixels de votre écran qui constitueraient une photo de n’importe quel chat. Le nombre de possibilités devenant très vite astronomique, l’analyse et l’interprétation de telles données devient alors extrêmement complexe. C’est ce que l’on appelle la malédiction de la multidimensionnalité.

Image. Trajectoire d’une particule qui effectue un mouvement Brownien (crédits : Ronen Eldan)

Afin d’approcher ce problème, Ronen Eldan a cherché des traits communs à de nombreux systèmes multidimensionnels, en passant d’un domaine scientifique à l’autre. Cela pourrait permettre d’apporter aux chercheurs une compréhension bien plus profonde de ces systèmes. Dr. Eldan a par exemple trouvé des connexions entre certains problèmes multidimensionnels et la physique du mouvement Brownien, qui décrit le mouvement de petites particules dans un fluide. Dr. Eldan a ainsi développé une nouvelle méthode pour l’analyse de ces problèmes qui se base sur cette physique. Cette étude est un nouveau pas vers la résolution de problèmes complexes qui mènent à une meilleure compréhension de systèmes scientifiques non moins complexes, ainsi qu’à des applications technologiques à partir de la maîtrise du machine learning.

Sources : https://wis-wander.weizmann.ac.il/math-computer-science/taming-curse-high-dimensionality

Rédacteur : Arnaud Courvoisier, doctorant à l’Institut Weizmann